คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมและการทำงานของ ไฟฟ้า และ ระบบอิเล็กทรอนิกส์ . พหุนามพีชคณิตความน่าจะเป็นบูรณาการและความแตกต่าง ฯลฯ ... เป็นส่วนสำคัญของเครื่องมือที่ใช้ในการแก้ปัญหาระบบ ด้วยความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นของระบบจึงจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนมาก สมการเชิงอนุพันธ์ถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนในการกำหนดระบบควบคุม สมการเหล่านี้แก้ได้ง่าย แต่ความซับซ้อนเกิดขึ้นขณะแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูงที่ซับซ้อนดังกล่าววิธีการทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์แล้วว่าได้ผลคือ Laplace Transform . เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายจึงมีประโยชน์ที่จะทราบว่าสิ่งที่พวกเขาหมายถึงจริงๆและทำงานอย่างไร

Laplace Transform คืออะไร?

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงใช้สำหรับการเปลี่ยนตัวแปรจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อให้ง่ายต่อการจัดการสมการ Laplace แปลงร่างก็ทำได้เหมือนกัน พวกเขาเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าให้เป็นรูปพหุนามซึ่งง่ายกว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง

แต่มีการเปลี่ยนแปลงที่หลากหลายเช่นการแปลงฟูเรียร์ z เปลี่ยนสิ่งที่ทำให้ลาปลาซแปลงร่างเป็นพิเศษ? ข้อได้เปรียบที่สำคัญของการแปลงลาปลาซคือการกำหนดไว้สำหรับทั้งระบบที่เสถียรและไม่เสถียรในขณะที่การแปลงฟูริเยร์ถูกกำหนดไว้สำหรับระบบที่เสถียร

สูตร Laplace Transform

การแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน f (t) ในโดเมนเวลาโดยที่ t คือจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์จะได้รับเป็น F (s) โดยที่นั่น s คือจำนวนเชิงซ้อนในโดเมนความถี่เช่น s = σ + jω
สมการข้างต้นถือเป็น ฝ่ายเดียว สมการการแปลงลาปลาซ . เมื่อขีด จำกัด ขยายไปยังแกนจริงทั้งหมดแล้วค่า การแปลง Laplace ทวิภาคี สามารถกำหนดเป็น
ในวงจรปฏิบัติเช่น วงจร RC และ RL โดยปกติจะใช้เงื่อนไขเริ่มต้นดังนั้นการแปลงลาปลาซด้านเดียวจึงถูกนำไปใช้เพื่อการวิเคราะห์
ในฐานะที่เป็น s = σ + jωเมื่อ Lap = 0 การแปลง Laplace ทำงานเป็นการแปลงฟูเรียร์

“เซมิคอนดักเตอร์ชนิด n เทียบกับชนิด p ”

สูตรการแปลง Laplace

เงื่อนไขการบังคับใช้ Laplace Transform

การแปลงลาปลาซเรียกว่าการแปลงอินทิกรัลดังนั้นจึงมีเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของการแปลงเหล่านี้
นั่นคือ f จะต้องรวมกันในพื้นที่สำหรับช่วงเวลา [0, ∞) และขึ้นอยู่กับว่าσเป็นบวกหรือลบ e ^ (- σt) อาจจะสลายตัวหรือเพิ่มขึ้น สำหรับการแปลง Laplace ทวิภาคีแทนที่จะเป็นค่าเดียวอินทิกรัลจะมาบรรจบกันในช่วงของค่าที่เรียกว่า Region of Convergence

คุณสมบัติของ Laplace Transform:

ความเป็นเส้นตรง

การเปลี่ยนเวลา

Shift ใน S-domain

การย้อนเวลา

ความแตกต่างใน S-domain

การเปลี่ยนแปลงในเวลา

ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น

ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นถูกนำไปใช้เมื่อในการแปลงลาปลาซระดับของตัวเศษน้อยกว่าระดับของตัวส่วน ทฤษฎีบทมูลค่าสุดท้าย:

ถ้าขั้วทั้งหมดของ sF อยู่ทางครึ่งซ้ายของทฤษฎีบทค่าสุดท้ายของระนาบ S จะถูกนำไปใช้

การแปลง Laplace ผกผัน

เนื่องจากลักษณะการลู่เข้าของ Laplace transform ยังมีการแปลงผกผัน Laplace transform แสดงการแม็ปแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากพื้นที่ฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกพื้นที่หนึ่ง สูตรสำหรับการแปลงลาปลาซผกผันคือ

“สลัก sr คืออะไร ”

วิธีคำนวณ Laplace Transform

Laplace transform ทำให้สมการจัดการง่ายขึ้น เมื่อได้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้นการแปลงลาปลาซจะถูกนำไปใช้กับสมการซึ่งจะแปลงสมการเป็นสมการพีชคณิตจึงทำให้จัดการได้ง่ายขึ้น จากนั้นเราคำนวณรากโดยการทำให้สมการพีชคณิตนี้ง่ายขึ้น ขณะนี้พบการแปลง Laplace ผกผันของนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งแก้สมการอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

การคำนวณการแปลง Laplace

การใช้งาน Laplace Transform

การวิเคราะห์ไฟฟ้าและ วงจรอิเล็กทรอนิกส์ .
การแบ่งสมการเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อนออกเป็นรูปแบบพหุนามที่ง่ายกว่า
Laplace transform ให้ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะคงที่และสถานะชั่วคราว
ในการเรียนรู้ของเครื่องการแปลง Laplace ใช้สำหรับการคาดการณ์และทำการวิเคราะห์ในการขุดข้อมูล
Laplace transform ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณในการสร้างแบบจำลองระบบ

การประยุกต์ใช้ Laplace Transform ในการประมวลผลสัญญาณ

การแปลง Laplace มักเลือกใช้สำหรับการประมวลผลสัญญาณ พร้อมกับการแปลงฟูเรียร์แล้ว ลาปลาซแปลงร่าง ใช้เพื่อศึกษาสัญญาณในโดเมนความถี่ เมื่อมีความถี่เล็ก ๆ ในสัญญาณในโดเมนความถี่เราสามารถคาดหวังว่าสัญญาณจะราบรื่นในโดเมนเวลา การกรองสัญญาณมักทำในโดเมนความถี่ซึ่ง Laplace ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำคัญในการแปลงสัญญาณจากโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่

การประยุกต์ใช้ Laplace Transform ในระบบควบคุม

ระบบควบคุมมักออกแบบมาเพื่อควบคุมพฤติกรรมของอุปกรณ์อื่น ๆ ตัวอย่างของ ระบบควบคุม สามารถมีตั้งแต่เครื่องควบคุมความร้อนภายในบ้านธรรมดาไปจนถึงระบบควบคุมอุตสาหกรรมที่ควบคุมพฤติกรรมของเครื่องจักร

โดยทั่วไปวิศวกรควบคุมจะใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่ออธิบายพฤติกรรมของบล็อคการทำงานของลูปปิดต่างๆ Laplace transform ใช้ในการแก้สมการเหล่านี้โดยไม่สูญเสียข้อมูลตัวแปรที่สำคัญ

ลักษณะเฉพาะของระบบ Linear Time-Invariant โดยใช้ Laplace Transform

สำหรับระบบทั่วไป ROC ที่เกี่ยวข้องกับระบบฟังก์ชันคือระนาบครึ่งขวา ระบบจะต่อต้านการไม่เป็นทางการหากมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น h (t) = 0 สำหรับ t> 0

ถ้า ROC ของระบบทำงาน H (s) รวมแกนjωแล้ว L.T.I. ระบบนี้เรียกว่าระบบที่มีเสถียรภาพ หากระบบทั่วไปที่มีฟังก์ชันระบบที่มีเหตุผล H มีชิ้นส่วนจริงที่เป็นลบสำหรับเสาทั้งหมดแสดงว่าระบบมีเสถียรภาพ

ดังนั้น Laplace transform จึงเป็นเครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์วงจร เราสามารถพูดได้ว่าเป็นเครื่องตรวจฟังของแพทย์คือการเปลี่ยนลาปลาซคือการควบคุมวิศวกร คุณคิดว่า Laplace transforms เป็นอย่างไร? สิ่งเหล่านี้เป็นประโยชน์กับคุณในทางใด